更新「AC 自动机」相关内容

Author: 杨世超

docs/04_string/04_11_ac_automaton.md

@@ -18,10 +18,119 @@ AC 自动机的构造有 3 个步骤：
 
 ### 2.1 构造一棵字典树（Trie）
 
-首先我们需要建立一棵字典树。
+首先我们需要建立一棵字典树。字典树是一种树形数据结构，用于高效地存储和检索字符串集合。每个节点代表一个字符，从根节点到某个节点的路径上的字符连接起来，就是该节点对应的字符串。
+
+对于给定的 5 个单词，构造的字典树如下：
+
+```
+        root
+       /    \
+      s      h
+     / \     |
+    a   h    e
+   /   / \    \
+  y   e   r    r
+```
 
 ### 2.2 构造失配指针
 
+失配指针（fail pointer）是 AC 自动机的核心。当在字典树中匹配失败时，失配指针指向另一个节点，该节点对应的字符串是当前节点对应字符串的最长后缀。
+
+失配指针的构造过程：
+1. 根节点的失配指针指向空
+2. 对于每个节点，其失配指针指向其父节点的失配指针指向的节点的对应子节点
+3. 如果对应子节点不存在，则继续沿着失配指针向上查找
+
 ### 2.3 扫描文本串
 
-## 3. AC 自动机的应用
+扫描文本串的过程：
+1. 从根节点开始，按照文本串的字符顺序在字典树中移动
+2. 如果当前字符匹配成功，继续移动到下一个字符
+3. 如果当前字符匹配失败，通过失配指针跳转到另一个节点继续匹配
+4. 当到达某个单词的结束节点时，说明找到了一个匹配的单词
+
+## 3. AC 自动机的应用
+
+AC 自动机在以下场景中有着广泛的应用：
+
+1. **多模式字符串匹配**：在文本中查找多个模式串
+2. **敏感词过滤**：检测文本中是否包含敏感词
+3. **DNA序列分析**：在生物信息学中用于DNA序列的模式匹配
+4. **网络入侵检测**：检测网络数据包中的恶意模式
+5. **拼写检查**：检查文本中的拼写错误
+
+## 4. AC 自动机的实现
+
+### 4.1 时间复杂度
+
+- 构建字典树：O(Σ|P|)，其中 P 是所有模式串的集合
+- 构建失配指针：O(Σ|P|)
+- 文本串匹配：O(n + k)，其中 n 是文本串长度，k 是匹配的模式串数量
+
+### 4.2 空间复杂度
+
+- O(Σ|P|)，其中 Σ 是字符集大小
+
+## 5. 代码实现
+
+```python
+class TrieNode:
+    def __init__(self):
+        self.children = {}  # 子节点
+        self.fail = None    # 失配指针
+        self.is_end = False # 是否是单词结尾
+        self.word = ""      # 存储完整的单词
+
+class AC_Automaton:
+    def __init__(self):
+        self.root = TrieNode()
+    
+    def add_word(self, word):
+        node = self.root
+        for char in word:
+            if char not in node.children:
+                node.children[char] = TrieNode()
+            node = node.children[char]
+        node.is_end = True
+        node.word = word
+    
+    def build_fail_pointers(self):
+        queue = []
+        # 将根节点的子节点的失配指针指向根节点
+        for char, node in self.root.children.items():
+            node.fail = self.root
+            queue.append(node)
+        
+        # 广度优先搜索构建失配指针
+        while queue:
+            current = queue.pop(0)
+            for char, child in current.children.items():
+                fail = current.fail
+                while fail and char not in fail.children:
+                    fail = fail.fail
+                child.fail = fail.children[char] if fail else self.root
+                queue.append(child)
+    
+    def search(self, text):
+        result = []
+        current = self.root
+        
+        for char in text:
+            while current is not self.root and char not in current.children:
+                current = current.fail
+            if char in current.children:
+                current = current.children[char]
+            
+            # 检查当前节点是否是某个单词的结尾
+            temp = current
+            while temp is not self.root:
+                if temp.is_end:
+                    result.append(temp.word)
+                temp = temp.fail
+        
+        return result
+```
+
+## 6. 总结
+
+AC 自动机是一种高效的多模式匹配算法，它通过结合字典树和 KMP 算法的思想，实现了在文本串中快速查找多个模式串的功能。虽然其实现相对复杂，但在需要多模式匹配的场景下，AC 自动机提供了最优的时间复杂度。