修复和优化语句表述

Author: itcharge

docs/06_graph/06_01_graph_basic.md

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 ## 1. 图的定义
 
-> **图（Graph）**：由顶点集合 $V$ 与边集合 $E$（顶点之间的关系）构成的数据结构。图的形式化定义为 $G = (V, E)$。
+> **图（Graph）**：由顶点集合 $V$ 和边集合 $E$（即顶点之间的连接关系）组成的数据结构，通常记作 $G = (V, E)$。
 
-- **顶点（Vertex）**：图中的基本元素，通常称为顶点，表示对象或节点。顶点的集合 $V$ 是有限非空集合，包含 $n > 0$ 个顶点。如下面的示意图所示，通常我们使用圆圈来表示顶点。
-- **边（Edge）**：顶点之间的关系或连接。边的形式化定义为：$e = \langle u, v \rangle$，表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边，其中 $u$ 称为起始点，$v$ 称为终止点。如下面的示意图所示，通常我们使用连接两个顶点的线段来表示边。
+- **顶点（Vertex）**：图的基本单元，表示对象或节点。顶点集合 $V$ 是有限且非空的，包含 $n > 0$ 个顶点。通常用圆圈表示顶点。
+- **边（Edge）**：连接两个顶点的线段，表示它们之间的关系。边可记为 $e = \langle u, v \rangle$，表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边，其中 $u$ 是起点，$v$ 是终点。
 
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-- **子图（Sub Graph）**：对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$，如果满足 $V^{'} \subseteq V$，$E^{'} \subseteq E$，则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。直观的说，子图是由原图的一部分顶点和边组成的，同时边的两端顶点必须属于子图的顶点集合 $V^{'}$。特别地，根据定义，图 $G$ 本身也是其一个子图。在下图中，我们展示了一个图 $G$ 及其子图 $G^{'}$。
+- **子图（Sub Graph）**：如果图 $G' = (V', E')$ 满足 $V' \subseteq V$ 且 $E' \subseteq E$，则 $G'$ 是 $G$ 的子图。也就是说，子图由原图部分顶点和边组成，且边的两个端点都属于 $V'$。特别地，$G$ 本身也是它的一个子图。下图展示了图 $G$ 及其子图 $G'$。
 
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 ## 2. 图的分类
 
-### 2.1 无向图和有向图
+### 2.1 无向图与有向图
 
-根据边是否具有方向性，图可以分为两种类型：「无向图」和「有向图」。
+按边是否有方向，可以将图分为「无向图」和「有向图」。
 
-> **无向图（Undirected Graph）**：如果图中每条边都没有方向性，则称为无向图。例如，表示朋友关系或者城市间双向行驶的路线图常用无向图建模。
+- **无向图（Undirected Graph）**：边没有方向，常用于表示朋友关系、城市间双向道路等。无向图的边由两个顶点组成的无序对表示，如下图左侧中的顶点 $(v_1, v_2)$。
 
-在无向图中，每条边都是由两个顶点组成的无序对。例如下图左侧中的顶点 $v_1$ 和顶点 $v_2$ 之间的边记为 $(v_1, v_2)$ 或 $(v_2, v_1)$。
-
-> **有向图（Directed Graph）**：如果图中的每条边都具有方向性，则称为有向图。例如，表示任务流程的流程图或网络请求的依赖图是典型的有向图。
-
-在有向图中，有向边（又称弧）是由两个顶点组成的有序对，例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧，记为 $\langle v_1, v_2 \rangle$，$v_1$ 被称为弧尾，$v_2$ 被称为弧头，如下图所示。
+- **有向图（Directed Graph）**：边有方向，常用于表示任务流程、依赖关系等。有向图的边（弧）由两个顶点组成的有序对表示，如下图右侧中的顶点 $\langle v_1, v_2 \rangle$，其中 $v_1$ 为弧尾，$v_2$ 为弧头。
 
 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220307160017.png)
 
-如果图中有 $n$ 个顶点，则根据图的类型，其边（或弧）的最大数量可以定义如下：
+如果图有 $n$ 个顶点，则：
 
-- **无向图中边的最大数量**：在无向图中，任意两个顶点之间最多存在一条边，因此最多可以有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边。具有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边的无向图称为 **「完全无向图（Completed Undirected Graph）」**。
+- **无向图最大边数**：$\frac{n \times (n - 1)}{2}$。达到最大边数的无向图称为 **完全无向图**。
+- **有向图最大边数**：$n \times (n - 1)$。达到最大边数的有向图称为 **完全有向图**。
 
-- **有向图中边的最大数量**：在有向图中，任意两个顶点之间可以存在一对方向相反的弧，因此最多可以有 $n \times (n - 1)$ 条弧。具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 **「完全有向图（Completed Directed Graph）」**。
-
-下图展示了两个示例：左侧为包含 $4$ 个顶点的完全无向图，右侧为包含 $4$ 个顶点的完全有向图。
+下图左为 $4$ 个顶点的完全无向图，右为 $4$ 个顶点的完全有向图：
 
 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220308151436.png)
 
-下面介绍一下无向图和有向图中一个重要概念 **「顶点的度」**。
-
-> **顶点的度**：与该顶点 $v_i$ 相关联的边的数量，记为 $TD(v_i)$。
+**顶点的度** 是图的一个重要概念：
 
-- **无向图中顶点的度**：在无向图中，顶点的都是与该顶点相连的边的数量。例如，在上图左侧的完全无向图中，顶点 $v_3$ 的度为 $3$，因为有 $3$ 个其他的顶点与 $v_3$ 相连接。
-
-- **有向图中顶点的度**：在有向图中，顶点的度可以分为「出度」和「入度」两个部分。
-  - **出度（Out Degree）**：以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数，记为 $OD(v_i)$。
-  - **入度（In Degree）**：以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数，记为 $ID(v_i)$。
-
-在有向图中，顶点 $v_i$ 的度是该点出度和入度之和，即：$TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。
-
-例如，在上图右侧的完全有向图中，顶点 $v_3$ 的出度为 $3$，入度为 $3$，因此顶点 $v_3$ 的度为 $3 + 3 = 6$。
+- **无向图中，顶点的度**：与该顶点相连的边的数量，记为 $TD(v_i)$。
+  - 如上图左，$v_3$ 的度为 $3$。
+- **有向图中，顶点的度** 分为：
+  - **出度（Out Degree）**：以该顶点为起点的边数，记为 $OD(v_i)$。
+  - **入度（In Degree）**：以该顶点为终点的边数，记为 $ID(v_i)$。
+  - 顶点总度：$TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。
+  - 如上图右，$v_3$ 的出度为 $3$，入度为 $3$，总度为 $6$。
 
 ### 2.2 环形图和无环图
 
-> **路径** ：图中的一个重要概念，对于图 $G = (V, E)$，如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2}, …, v_{i_m}$，并且每对相邻的顶点都有图中的边连接，即 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), …, (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$（对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, …, \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$），则称该顶点序列为从顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径，其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点，$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。
-
-简而言之，如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边到达顶点 $v_{i_m}$，则称这两个顶点之间有一条路径，其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。
+> **路径**：路径是图论中的核心概念。对于图 $G = (V, E)$，如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2}, \ldots, v_{i_m}$，使得任意相邻顶点对之间都存在边相连（无向图为 $(v_{i_{k-1}}, v_{i_k}) \in E$，有向图为 $\langle v_{i_{k-1}}, v_{i_k} \rangle \in E$，$1 \leq k \leq m$），则称该顶点序列为从 $v_{i_0}$ 到 $v_{i_m}$ 的一条路径。其中，$v_{i_0}$ 为起点，$v_{i_m}$ 为终点。
 
-- **环（Circle）**：如果一条路径的起始点和终止点相同（即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ），则称这条路径为「回路」或「环」。
+简而言之，如果从顶点 $v_{i_0}$ 出发，经过若干顶点和边能够到达顶点 $v_{i_m}$，则称 $v_{i_0}$ 与 $v_{i_m}$ 之间存在一条路径，所经过的顶点序列即为这条路径。
 
-- **简单路径**：顶点序列中顶点不重复出现的路径称为「简单路径」。
+- **环（Cycle）**：如果一条路径的起点和终点重合（即 $v_{i_0} = v_{i_m}$），则称该路径为「环」或「回路」。
+- **简单路径**：路径上所有顶点均不重复出现（除非是环的首尾重合），称为「简单路径」。
 
-根据图中是否有环，我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。
+根据图中是否存在环，可以将图分为「环形图」和「无环图」：
 
-- **环形图（Circular Graph）**：如果图中存在至少一条环路，则该图称为「环形图」。
-- **无环图（Acyclic Graph）**：如果图中不存在环路，则该图称为「无环图」。
+- **环形图（Circular Graph）**：如果图中至少存在一条环，则称为环形图。
+- **无环图（Acyclic Graph）**：如果图中不存在任何环，则称为无环图。
 
-在有向图中，如果不存在环路，则将该图称为「有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）」。有向无环图因其独特的拓扑结构，广泛应用于诸如动态规划、最短路径问题、数据压缩等算法场景。
+对于有向图，如果不存在环，则称为「有向无环图（Directed Acyclic Graph, DAG）」。DAG 结构在动态规划、最短路径、数据压缩等算法中有着广泛应用。
 
-下图展示了四种图的类型：无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。在有向环形图中，顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。
+下图展示了四类典型图结构：无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。其中有向环形图中，顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 及其相连的边构成了一个环。
 
 ![环形图和无环图](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317115641.png)
 
-### 2.3 连通图和非连通图
+### 2.3 连通图与非连通图
 
 #### 2.3.1 连通无向图
 
-在无向图中，如果存在一条从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 的路径，则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。
+在无向图中，如果从顶点 $v_i$ 能通过一条路径到达顶点 $v_j$，则称 $v_i$ 和 $v_j$ 连通。
 
-- **连通无向图**：如果无向图中任意两个顶点之间都是连通的（即任意两个顶点之间都有路径连接），则称该图为「连通无向图」。
-- **非连通无向图**：如果无向图中存在至少一对顶点之间没有任何路径连接，则称该图为「非连通无向图」。
+- **连通无向图**：任意两个顶点之间都有路径相连的无向图。
+- **非连通无向图**：存在至少一对顶点之间没有路径相连的无向图。
 
-下图展示了两种情况：
-
-- 在左侧图中，顶点 $v_1$ 与所有其他顶点 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的，因此该图为连通无向图。
-- 在右侧图中，顶点 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 是连通的，但与 $v_5$、$v_6$ 没有任何路径连接，因此该图为非连通无向图。
+下图左侧为连通无向图，$v_1$ 能与所有其他顶点连通；右侧为非连通无向图，$v_1$ 只能与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 连通，无法到达 $v_5$、$v_6$。
 
 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317163249.png)
 
 #### 2.3.2 无向图的连通分量
 
-在无向图中，某些图可能不是连通的，但它们的子图可能是连通的。这样的子图称为「连通子图」。对于其中某个连通子图，如果不存在任何包含他的更大连通子图，则该连通子图称为「连通分量」。
+在无向图中，整体可能不是连通的，但其中的某些子图是连通的，这些子图称为「连通子图」。如果一个连通子图无法再被包含于更大的连通子图中，则称其为「连通分量」，即无向图中的极大连通子图。
 
-- **连通子图**：如果无向图的子图是连通的，则该子图称为连通子图。
-- **连通分量**：无向图中的一个极大连通子图（不存在任何包含它的更大的连通子图）称为该图的连通分量。
-- **极⼤连通⼦图**：无向图中的一个连通子图，且不存在包含它的更大的连通子图。
+- **连通子图**：无向图的一个子图，且该子图是连通的。
+- **极大连通子图**：连通子图中，如果不存在包含它的更大的连通子图，则称为极大连通子图。
+- **连通分量**：无向图中的极大连通子图，即为该图的连通分量。
 
-例如，上图右侧的非连通无向图中，尽管整体图是非连通的，但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的，并且不存在任何包含它的更大的连通子图，因此该子图是原图的一个连通分量。类似地，顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边也构成了原图的另一个连通分量。
+举例来说，上图右侧的非连通无向图中，顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 及其相连的边构成了一个连通子图，且无法再扩展为更大的连通子图，因此它是原图的一个连通分量。同理，顶点 $v_5$、$v_6$ 及其相连的边也构成了另一个连通分量。
 
 #### 2.3.3 强连通有向图
 
-在有向图中，如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 存在路径，且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径，则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是「强连通」的。
-
-- **强连通有向图**：如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 都满足从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 均有路径，则称该图为「强连通有向图」。
-- **非强连通有向图**：如果图中存在至少一对顶点之间没有路径连接（即无法相互到达），则称该图为「非强连通有向图」。
+在有向图中，如果顶点 $v_i$ 能到达 $v_j$，且 $v_j$ 也能到达 $v_i$，则称 $v_i$ 和 $v_j$ 是「强连通」的。
 
-下图展示了两种情况：
+- **强连通有向图**：任意两个顶点都能互相到达的有向图。
+- **非强连通有向图**：存在至少一对顶点不能互相到达的有向图。
 
-- 左侧图中，任意两个顶点之间都存在路径，因此该图为强连通有向图。
-- 右侧图中，顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点，因此该图为非强连通有向图。
+下图左为强连通有向图，任意两点可互达；右图中 $v_7$ 无法到达其他顶点，因此不是强连通有向图。
 
 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317133500.png)
 
 #### 2.3.4 有向图的强连通分量
 
-在有向图中，「强联通分量」是指其内部任意两个顶点之间都强连通的极大强连通子图。以下是具体定义：
+在有向图中，「强连通分量」指的是：图中某个极大子图，子图内任意两个顶点都可以互相到达（即强连通），并且无法再加入其他顶点使其仍然强连通。
 
-- **强连通子图**：有向图的一个子图，且该子图中任意两个顶点都是强连通的。
-- **极⼤强连通⼦图**：如果一个强联通子图不能被包含在任何更大的强连通子图中，则称其为极大强连通子图。
-- **强连通分量**：有向图中的一个极⼤强连通⼦图，称为该图的强连通分量。
+简要定义如下：
 
-举个例子来解释一下。
+- **强连通子图**：有向图的一个子图，子图内任意两点互相可达。
+- **极大强连通子图**：不能再加入其他顶点的强连通子图。
+- **强连通分量**：有向图中的极大强连通子图。
 
-例如，上图右侧的非强连通有向图，其本身不是强连通的（因为顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点）。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与它们之间的边构成了一个强连通子图（即上图的左侧图），且不存在包含它的更大的强连通子图，因此这是右侧图的一个强连通分量。类似地，顶点 $v_7$ 构成了一个只有一个顶点的强连通子图，因此它自身也是右侧图的一个强连通分量。
+举例说明：上图右侧的有向图不是强连通图（如 $v_7$ 无法到达其他顶点），但 $v_1$、$v_2$、
+$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 及其边构成了一个强连通分量（即左侧图）。而 $v_7$ 自身也单独构成一个强连通分量。
 
 ### 2.4 带权图
 
-有时，图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系，还需要表示这一关系的具体细节。有时候我们需要给边赋予一些数据信息，这些数据信息被称为 **权**。在具体应用中，权值可以具有某种具体意义，比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。
+有些图不仅表示顶点之间是否有关系，还需要描述这种关系的「强度」或「代价」，这就是「权」。权值可以表示距离、时间、费用等。
 
-- **带权图**：如果图的每条边都被赋以⼀个权值，则该图称为带权图。权值通常表示一个非负实数，但在某些场景下也可以是负数。
-- **网络**：带权的连通⽆向图被称为⽹络。
+- **带权图**：每条边都带有权值的图。权值一般为非负数，有时也可以为负数。
+- **网络**：带权且连通的无向图称为网络。
 
-在下面的示意图中，我们给出了一个带权图的例子。
+下图展示了一个带权图的例子：
 
 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220317135207.png)
 
-### 2.5 稠密图和稀疏图
+### 2.5 稠密图与稀疏图
+
+图按边的多少可分为「稠密图」和「稀疏图」，这一划分没有严格的界限，仅为便于理解。
+
+- **稠密图（Dense Graph）**：边数接近完全图的图，即大多数顶点之间都有边相连。
+- **稀疏图（Sparse Graph）**：边数远少于完全图的图（常见如 $e < n \times \log_2 n$），大部分顶点之间没有直接连接。
+
+## 3. 总结
+
+图是计算机科学中最重要的数据结构之一，由顶点和边组成，用于表示对象间的关系。本文介绍了图的基本概念和分类：
+
+### 核心概念
+- **顶点（Vertex）**：图的基本单元，表示对象或节点
+- **边（Edge）**：连接顶点的线段，表示对象间的关系
+- **路径**：顶点序列，表示从一个顶点到另一个顶点的遍历过程
+
+### 主要分类
+1. **按方向性**：无向图（双向关系）vs 有向图（单向关系）
+2. **按连通性**：连通图（任意两点可达）vs 非连通图（存在孤立部分）
+3. **按环结构**：环形图（存在回路）vs 无环图（无回路，如DAG）
+4. **按权值**：带权图（边有权重）vs 无权图（边无权重）
+5. **按密度**：稠密图（边多）vs 稀疏图（边少）
 
-根据图中边的稀疏程度，我们可以将图分为「稠密图」和「稀疏图」。这是一个模糊的概念，目前为止还没有给出一个量化的定义。
+### 重要特性
+- **度**：无向图中顶点的连接数，有向图中分为入度和出度
+- **连通分量**：无向图中的极大连通子图
+- **强连通分量**：有向图中任意两点互相可达的极大子图
 
-- **稠密图（Dense Graph）**：有很多条边或弧（边的条数 $e$ 接近于完全图的边数）的图称为稠密图。
-- **稀疏图（Sparse Graph）**：有很少条边或弧（边的条数 $e$ 远小于完全图的边数，如 $e < n \times \log_2n$）的图称为稀疏图。
+理解这些基础概念是学习图算法（如 DFS、BFS、最短路径、最小生成树等）的重要前提。
 
 ## 参考资料